SISTEMAS NUMÉRICOS (PARTE 1)

SISTEMAS NUMÉRICOS 

Los sistemas numéricos se clasifican en: posicionales y no posicionales. Los sistemas numéricos que veremos a continuación, son todos sistemas posicionales.

SISTEMA DECIMAL 

En el sistema de numeración decimal se utilizan diez símbolos, del 0 al 9 para representar una determinada cantidad. Los diez símbolos no se limitan a expresar solamente diez caracteres diferentes, ya que utilizan varios dígitos en las posiciones adecuadas dentro de un número para indicar la magnitud de la cantidad.

Base:10 

Símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

La posición de cada dígito en un número decimal indica la magnitud de la cantidad representada y se le puede asignar un peso. Los pesos para los números enteros son potencias de 10, que aumentan de derecha a izquierda, comenzando por 10⁰ = 1

n	3	2	1	0
10n	103	102	101	100
	1000	100	10	1

Para números fraccionarios, los pesos son potencias negativas de diez que aumentan de izquierda a derecha comenzando por 10^-1.

2	1	0	,	1	2	3
102	101	100	,	10-1	10-2	10-3
100	10	1	,	0,1	0,01	0,001

Ejemplo: 

225₁₀ = 2*10² + 2*10¹ + 5*10⁰= 200 + 20 + 5

SISTEMA BINARIO 

El sistema de numeración binario es simplemente otra forma de representar magnitudes. El sistema binario es menos complicado que el sistema decimal ya que solo tienes dos dígitos. Al principio, puede parecer más complicado por no ser familiar. El sistema decimal con sus diez dígitos es un sistema en base 10, el sistema binario con sus dos dígitos es un sistema en base dos. Los dos dígitos binarios son 0 y 1. La posición de un 1 o un 0 en un número binario indica su peso dentro del número, asi como la posición de un dígito decimal determina el valor de ese dígito. Los pesos de un número binario están basados en las potencias de dos.

Base: 2

Símbolos: 0, 1

El formato para números enteros y fraccionarios es similar al de los números binarios.

Para los números enteros: 

n-1	3	2	1	0
2n-1	23	22	21	20
	8	4	2	1

n = número de bits

Para los números fraccionarios:

2	1	0	,	1	2	3
22	21	20	,	2-1	2-2	2-3
4	2	1	,	1/2	1/4	1/8

SISTEMAS NUMÉRICOS (PARTE 2)

El sistema binario, presenta el inconveniente de que necesita muchas cifras para la representación de un número grande, y es muy engorroso para un humano.
Sin embargo, el sistema binario es el más adecuado a las máquinas electrónicas por varias razones:
1. La mayor parte de los computadores existentes representan la información y la procesan mediante elementos y circuitos electrónicos de dos estados (relés, núcleos de ferrita, etc.).
2. Por la seguridad y la rapidez de respuesta de los elementos físicos de dos estados diferenciados (ON / OFF).
3. Las operaciones aritméticas son sencillas.

Los quince primeros números binarios se escriben:

Decimal	Binario
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111

CONVERSIÓN BINARIO - DECIMAL

La forma más sencilla de realizar esta conversión es desarrollando la fórmula que vimos para los sistemas posicionales (suma de potencias de la base).

N = A_n*Bⁿ + A_n-1*B^n-1 + ... + A₁*B¹ + A₀*B⁰

Donde A son las distintas cifras del valor numérico y "n" su posición. B = 2

Ejemplo:

Dado el número binario 1011₂ encontrar el equivalente decimal.

Si desarrollamos el número dado como una potencia de 2 obtendremos:

1011₂ = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 2 + 1 = 11₁₀

CONVERSIÓN DECIMAL - BINARIO 

- Método de la división sucesiva por 2: Se divide sucesivamente el número decimal entre 2. Cada cociente obtenido se divide entre 2 hasta que se obtiene un cociente cuya parte entera es 0. Los restos generados en cada división forman el número binario. El primer resto es el bit menos significativo (LSB) del número binario, y el último resto es el bit mas significativo (MSB).

Ejemplo:

25₁₀=A₂

25/2 = 12 -> r = 1 ^

12/2 = 6   -> r = 0 |

6/2   = 3   -> r = 0 |

3/2   = 1   -> r = 1 |

1/2   = 0   -> r = 1 |

Donde r es resto.

Resultando: 25₁₀ = 11001₂

SISTEMA OCTAL

Este sistema tiene una base de 8 sìmbolos. La facilidad que existe en covertir entre el sistema binario y octal, permite expresar los numeros binarios en un formato mas compacto, ya que cada digito octal equivale a 3 digitos binarios.

Base: 8

Simbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Los 8 primeros numeros octales se escriben: 

Octal	Decimal	Binario
0	0	000
1	1	001
2	2	010
3	3	011
4	4	100
5	5	101
6	6	110
7	7	111

COVERSION OCTAL-BINARIA

Para convertir un numero expresado en base 8 y base 2, simplemente sustituimos cada una de las cifras que lo forman por sus 3 cifras binarias equivalentes.

Ejemplo:  Covertir a binario el numero 375,42

375,42⁸= X² 

3⁸= 011²

7⁸= 111²

5⁸= 101²
,

4⁸= 100²

2⁸= 010²

Con lo que tenemos que 375,42 es igual a 011111101,100010

CONVERSION BINARIO A OCTAL

Se realiza al inverso,comenzando desde la coma decimal hacia la izquierda para la parte entera, rellenando con ceros a la izquierda si fuera necesario; y desde la coma decimal hacia la derecha para la parte fraccionaria, rellenando con ceros a la derecha si esque es necesario.

Ejemplo:  Convertir 11111101,100010 a octal.

11111101,100010²= X⁸

011²= 3⁸

111²= 7⁸

101²= 5⁸

,

100²= 4⁸

010²= 2⁸

con lo que tenemos 11111101,100010² es igual a 375,4⁸

CONVERSION OCTAL DECIMAL

Se realiza del mismo modo que de binario a decimal, teniendo en cuenta que la base ahora es B= 8.

Ejemplo: 345,5⁸  3*8₂+4*8₁+5*8₀+5*8_-1=  192+32+5+0,75= 229,625¹⁰.

CONVERSION DECIMAL OCTAL

Se realiza del mismo modo que decimal a binario, dividiendo la parte entera de forma sucesiva por la base B= 8 y multiplicando la parte fraccionaria por la base.

Ejemplo: Expresar el numero decimal 1036,35¹⁰ en octal X⁸.

Parte entera: 

1036:8= 129; r=4

129:8= 16; r= 1

16:8= 2; r= 0

2:8= 0; r= 2

El resultado sera 1036¹⁰ = 2014⁸

Parte fraccionaria: 

0,35*8= 2,8

0,8*8= 6,4

0,4*8= 3,2

0,2*8= 1,6

0,6*8= 4,8

Uniendo la parte decimal del cociente de cada division obtenemos el valor:

26314⁸

El resultado final es la union de ambos valores: 1036,35¹⁰ = 2014,26314...⁸

SISTEMA HEXADECIMAL

Al igual que el sistema octal este sistema es una forma mas compacta para representar los numeros binarios. consta de 16 simbolos. para indicar que el numero se expresa en exadecimal se suele colocar una H al final, por ejemplo 34AF puede indicarse como 34AFH.

Base: 16 

simbolos: 0.123456789A,B,C,D,E,F

CONVERSION HEXADECIMAL - BINARIO

Basta con sustituir cada simbolo hexadecimal por su equivalente en binario, según se indica en la siguiente tabla.

hexadecimal	decimal	binario
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
A	10	1010
B	11	1011
C	12	1100
D	13	1101
E	14	1110
F	15	1111

Ejemplo: convertir a binario el numero 9A7B¹⁶

9¹⁶= 1001²

A¹⁶= 1010²

7¹⁶= 0110²

E¹⁶= 1110²

Con lo que tenemos que 9A7E¹⁶= 1001101001101110²

CONVERSION BINARIO HEXADECIMAL

La conversion de un numero binario a hexadecimal se realiza al inverso: se forman grupos de 4 cifras binarias a partir de la coma decimal, hacia la izquierda y hacia la derecha, y se sustituye cada grupo por su equivalente hexadecimal. Si el grupo final de la izquierda queda incompleto, se rellena con ceros por la izquierda. Del mismo modo si el gurpo final de la derecha queda incompleto, se rrellena con ceros por la derecha.

Ejemplo: Transformar a hexadecimal el numero binario 100101100, 110001

agrupamos y rellenamos con ceros 

0001²=1¹⁶

0010²= 2¹⁶

1100²= C¹⁶

,

1100²=C¹⁶

0100²= 4¹⁶

obteniendo como resultado el numero 12C,C4¹⁶

CONVERSIÓN HEXADECIMAL - DECIMAL

La conversion se realiza siguiendo el mismo procedimiento que en las conversiones binario - decimal, pero considerando la base B=16. En este caso, además. deberemos sustituir los valores A, B, C, D, E, F por su equivalencia en el sistema decimal.

Ejemplo: 

Encontrar el equivalente decimal del valor hexadecimal 39,B8

39,B8=3*16₁ + 9*16₀ + B*16_-1 + 8 *16_-2 + = 

=3*16₁ + 9*16₀ + 11*16_-1 + 8*16_-2=

=48 + 9 + 0,6875 + 0,03125=

=57, 71875¹⁰

CONVERSIÓN DECIMAL - HEXADECIMAL

Procederemos del mismo modo que en la conversión decimal - binaria, considerando B=16, devidiremos la parte entera sucesivamente por la base y la parte fraccionaria la multiplicaremos por la base. 

Ejemplo: Encontrar el equivalente hexadecimal del número 4573,79¹⁰

Parte entera: 

4573/16 = 285; r= 13 = D

285/16 = 17; r=13 = D

17/16 = 1; r= 1

1/16 = 0; r= 1

De la parte entera obtenemos: 11DD¹⁶

Parte fraccionaria (tomar decimales de cada cociente)

0,79*16 = 12,64

0,64*16 = 10,24

0,24*16 = 3,84

0,84*16 = 13,44

0,44*16 = 7,04

Obtenemos el valor: CA3D7¹⁶

El resultado final es la unión de ambos valores: 11DD,CA3D7¹⁶

ARITMÉTICA BINARIA

Son las mismas operaciones utilizadas en el sistema decimal, estas son suma, resta, multiplicación y divisón para base binaria. En este caso solo utilizaremos la suma.

SUMA BINARIA

0+0 = 0

0+1 = 1

1+0 = 1

1+1= 10

Puede verse que las primeras tres reglas dan lugar a un resultado de un solo bit, y la cuarta regla, la suma de dos unos, da lugar a 10 (2 en binario). Como se suman números binarios, teniendo en cuenta la última regla se obtiene en la columna dada la suma 0 y un acarreo de 1 que pasa a la siguiente columna de la izquierda como se muestra.

Ejemplo: Realizar la suma de: 011 + 100 = 

Como se muestra en la figura 1, en la columna de la derecha 1 + 1 = 0, con el acarreo 1 que pasa a la siguiente columna de la izquierda.

En la columna central , 1 `+ 1 + 0 = 0, con acarreo 1 que pasa a la siguiente columna de la izquierda. Y en la columna de la izquierda 1 + 0 + 0 = 1. 

acarreo	acarreo
1	1
0	1	1
0	0	1
1	0	0	+